常见函数的z变换

2025-09-21 23:43:47

问题描述：

常见函数的z变换，有没有大神路过？求指点迷津！

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【常见函数的z变换】在数字信号处理中，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间系统的特性。通过对离散时间信号进行Z变换，可以将时域中的差分方程转换为复频域中的代数方程，便于系统分析和设计。以下是一些常见函数的Z变换及其对应的收敛域（ROC）。

一、常见函数的Z变换总结

序号	函数 $ x(n) $	Z变换 $ X(z) $	收敛域（ROC）
1	单位脉冲函数 $ \delta(n) $	$ 1 $	全平面（除 $ z=0 $ 外）
2	单位阶跃函数 $ u(n) $	$ \frac{z}{z - 1} $	$	z	> 1 $
3	指数序列 $ a^n u(n) $	$ \frac{z}{z - a} $	$	z	>	a	$
4	正弦函数 $ \sin(\omega_0 n) u(n) $	$ \frac{z \sin(\omega_0)}{z^2 - 2z\cos(\omega_0) + 1} $	$	z	> 1 $
5	余弦函数 $ \cos(\omega_0 n) u(n) $	$ \frac{z(z - \cos(\omega_0))}{z^2 - 2z\cos(\omega_0) + 1} $	$	z	> 1 $
6	阶梯序列 $ n u(n) $	$ \frac{z}{(z - 1)^2} $	$	z	> 1 $
7	指数衰减正弦 $ a^n \sin(\omega_0 n) u(n) $	$ \frac{az \sin(\omega_0)}{z^2 - 2az\cos(\omega_0) + a^2} $	$	z	>	a	$
8	指数衰减余弦 $ a^n \cos(\omega_0 n) u(n) $	$ \frac{z(z - a\cos(\omega_0))}{z^2 - 2az\cos(\omega_0) + a^2} $	$	z	>	a	$

二、说明与注意事项

1. Z变换的定义：

对于一个离散时间信号 $ x(n) $，其Z变换定义为：

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}

其中 $ z $ 是一个复变量，通常用极坐标形式表示 $ z = re^{j\omega} $。

2. 收敛域（ROC）的重要性：

ROC决定了Z变换的唯一性以及系统是否稳定。例如，对于因果系统（即 $ x(n) = 0 $ 对于 $ n < 0 $），ROC是 $ z > r $ 的形式。

3. Z变换与拉普拉斯变换的关系：

Z变换是拉普拉斯变换在离散时间域的对应形式，常用于分析和设计数字滤波器和控制系统。

通过掌握这些常见函数的Z变换及其收敛域，可以更有效地进行离散系统的分析与设计。在实际应用中，还需结合具体问题选择合适的变换方法，并注意系统的稳定性条件。

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