【等比数列的性质】等比数列是数列中一种重要的形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为公比。掌握等比数列的性质有助于我们更灵活地分析和解决相关问题。以下是对等比数列性质的总结。
一、基本定义
若一个数列满足：
$$ a_{n+1} = a_n \cdot q $$（其中 $ q \neq 0 $）
则称该数列为等比数列，$ q $ 称为公比，$ a_1 $ 为首项。
二、等比数列的性质总结
| 性质编号 | 性质描述 | 说明 |
| 1 | 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $，适用于任意正整数 $ n $ |
| 2 | 公比恒定 | 每一项与前一项的比值恒等于公比 $ q $ |
| 3 | 等比中项 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $，且 $ b = \sqrt{ac} $（当 $ a > 0 $ 时） |
| 4 | 连续三项关系 | 若 $ a, b, c $ 是等比数列中的连续三项，则 $ b^2 = ac $ |
| 5 | 前 $ n $ 项和公式 | 当 $ q \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $；当 $ q = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $ |
| 6 | 递增或递减 | 若 $ q > 1 $ 且 $ a_1 > 0 $，则数列为递增；若 $ 0 < q < 1 $ 且 $ a_1 > 0 $，则数列为递减 |
| 7 | 负数项的处理 | 若 $ q < 0 $，则数列项会交替变号 |
| 8 | 对称性 | 若数列有奇数项，中间项为等比中项；若偶数项，相邻两项乘积相等 |
| 9 | 等比数列的子数列 | 若从等比数列中每隔一定项取一项，所得数列仍为等比数列 |
| 10 | 与等差数列的区别 | 等差数列是“加”固定差，等比数列是“乘”固定比 |
三、典型例题解析
例题1：已知等比数列 $ a_1 = 2 $，公比 $ q = 3 $，求第 5 项。
解：
根据通项公式 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $，
$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
例题2：若 $ 3, x, 27 $ 成等比数列，求 $ x $ 的值。
解：
由等比中项性质，$ x^2 = 3 \cdot 27 = 81 $，
所以 $ x = \pm 9 $
四、总结
等比数列的性质在数学中具有广泛的应用，尤其在数列求和、几何问题、金融计算等领域中表现突出。理解这些性质不仅有助于提高解题效率，还能加深对数列结构的认识。通过表格形式的整理，可以更清晰地把握等比数列的核心特征和规律。