【函数连续和可导的关系】在数学分析中，函数的连续性和可导性是两个非常重要的概念。它们之间既有联系，也有区别。理解这两个性质之间的关系，有助于更深入地掌握微积分的基本原理。
一、
函数的连续性是指函数在其定义域内没有跳跃或断裂的现象；而可导性则要求函数在某一点处存在切线，即函数的变化率可以被准确计算。一般来说，如果一个函数在某点可导，那么它在该点必定连续；但反过来，函数在某点连续，并不一定可导。也就是说，可导是连续的充分条件，而非必要条件。
常见的不可导但连续的情况包括：函数在某点有“尖点”（如绝对值函数在0点）、有垂直切线、或者函数在某点附近震荡剧烈等。这些情况虽然函数在该点连续，但由于不满足导数存在的条件，因此不可导。
二、表格对比
| 比较项 | 函数连续 | 函数可导 |
| 定义 | 在某点无跳跃或断裂 | 在某点存在切线，变化率确定 |
| 关系 | 可导 ⇒ 连续 | 连续 ⇏ 可导 |
| 是否一定成立 | 是 | 否 |
| 常见例子 | 多项式、三角函数等 | 多项式、指数函数、正弦函数等 |
| 不可导但连续的例子 | 绝对值函数在0点、分段函数在连接点等 | 无 |
| 数学表达 | $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ | $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 存在 |
三、小结
函数的连续性和可导性是微积分中的基础内容，理解它们之间的关系有助于我们在实际问题中判断函数的性质。总的来说，可导必连续，但连续不一定可导。因此，在处理函数的极限、导数以及应用问题时，需要特别注意这一点。