【等比数列性质】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为常数。这种数列在实际问题中有着广泛的应用，如金融中的复利计算、生物学中的细胞分裂等。了解等比数列的性质，有助于我们更深入地掌握其规律并灵活运用。
一、等比数列的基本定义
若一个数列从第二项起，每一项与前一项的比值是一个常数，则这个数列为等比数列，该常数称为公比，记作 q。
设首项为 a₁，则等比数列的一般形式为：
$$
a_1, a_1 q, a_1 q^2, a_1 q^3, \ldots
$$
二、等比数列的主要性质总结
以下是一些常见的等比数列性质，便于理解和应用：
| 序号 | 性质名称 | 内容描述 | ||
| 1 | 公比恒定性 | 每一项与前一项的比值恒为同一个常数 q，即 $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = q $ | ||
| 2 | 通项公式 | 第 n 项为 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | ||
| 3 | 任意两项关系 | 若 $ m > n $，则 $ a_m = a_n \cdot q^{m-n} $ | ||
| 4 | 等比中项 | 若三个数成等比数列，则中间的数为两边数的等比中项，即 $ b^2 = ac $ | ||
| 5 | 连续项积的性质 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = a \cdot c $ | ||
| 6 | 和的公式（有限项） | 前 n 项和为 $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ （当 $ q \ne 1 $） | ||
| 7 | 无穷等比数列求和 | 当 $ | q | < 1 $ 时，无限项和为 $ S = \frac{a_1}{1 - q} $ |
| 8 | 单调性 | 若 $ q > 1 $，数列递增；若 $ 0 < q < 1 $，数列递减；若 $ q = 1 $，为常数列 |
三、等比数列的典型应用举例
1. 复利计算：银行存款利息按年复利计算时，本金和利息构成等比数列。
2. 细胞分裂：生物体细胞每次分裂后数量翻倍，形成等比数列。
3. 放射性衰变：物质的剩余量随时间呈指数衰减，也可看作等比数列的一种形式。
四、注意事项
- 公比不能为 0：否则从第二项开始全为 0，失去“等比”意义。
- 公比为负数时：数列会出现正负交替的现象。
- 注意区分等差数列与等比数列：两者虽然都属于数列，但增长方式不同，性质也截然不同。
通过以上总结可以看出，等比数列不仅具有明确的数学结构，还具备广泛的实际应用场景。掌握其性质有助于我们在学习和工作中更高效地处理相关问题。